Produktionsfunktion

Was ist eine Produktionsfunktion?

Die Produktionsfunktion gibt den quantitativen Zusammenhang zwischen den Einsatzmengen der Produktionsfaktoren (Inputs) und den Produktionsmengen (Outputs) an. Ziel ist es dabei, mittels der Produktionsfunktion die optimale Produktionsmenge zu bestimmen.

In der Volkswirtschaftslehre wird angenommen, dass ein einzelnes Unternehmen auf Grundlage der Produktionsfunktion Y = F (K, L) mit dem Einsatz von Kapital (K) und Arbeit (L) produziert. Dabei wird unterstellt, dass der reale Gewinn bzw. das Bruttoinlandsprodukt der Volkswirtschaft maximiert werden soll.[1]

Die Produktionsfunktion gibt die Höhe bzw. Menge der Produktion (Y) in Abhängigkeit von den verfügbaren Produktionsfaktoren an.

Produktionsfaktoren

Die Produktionsfaktoren des volkswirtschaftlichen Konzepts lauten:

Arbeit (L), Kapital (K), Boden/Natur (N), technisches Wissen (Z).

Dabei kommt die Verwendung des Buchstabels L für den Produktionsfaktor Arbeit aus dem englischen Begriff labour für Arbeit. Letztlich bestimmen die Menge und die Qualität der Produktionsfaktoren die Produktionsmöglichkeiten bzw. die Wachstumsmöglichkeiten einer Gesamtwirtschaft.[2]

Die Produktionsfunktion in der Praxis

Die Produktionsfunktion dient nicht nur der reinen Theorie. Denn in der Praxis wird diese von Unternehmen tatsächlich angewendet, um die Zusammenhänge zwischen der Produktionsmenge und den Einsatzfaktoren zu messen. So können Unternehmen aus den internen Daten (beispielsweise aus den Bereichen Controlling, Finanzen, Logistik) oder aus externen Daten (wie der Bilanz und GuV) die Zusammenhänge der Prdouktionsfaktoren mittels der Produktionsfunktion bestimmen.[3]

Neoklassische Produktionsfunktion

Die neoklassische Produktionsfunktion besagt, dass jeder Mehreinsatz von Arbeit zu einer Erhöhung des Outputs führt. Der Zuwachs des Outputs wird jedoch mit steigendem Arbeitseinsatz stets geringer.[4] In diesem Zusammehanh spielt die Produktivität eine große Rolle.

Produktivität = P: Diese beschreibt die Produktionsmenge q je Mitarbeiter L. Wenn die Anzahl an Arbeiter von 200 auf 220 um 10% steigt, aber die Produktionsmenge nur geringfügig von 1.000 Stück auf 1.050 Stück, also lediglich um 5% steigt, geht die Produktivität je Arbeiter von

Stück je Arbeiter auf

Stück je Arbeiter um – 4,55% zurück.[5]

Die gesamtwirtschaftliche Produktionsfunktion hat somit steigende, jedoch abnehmende Grenzerträge.[6]

In welchem Zusammensteht stehen Grenzertrag und Durchschnittsertrag?

Der Grenzertrag bzw. das Grenzprodukt ist ein Konzept, welches die Veränderung des Outputs bei einer geringfügigen Veränderung der Anzahl an Arbeiter unter unverändertem Kapital beschreibt.[7]

Der Grenzertrag beschreibt den Zuwachs am Gesamtertrag (Output) bei der Vermehrung der variablen Einsatzfaktoren um eine Einheit.[8]

Dagegen ergibt sich der Durchschnittsertrag, indem der Gesamtertrag (Output) durch die Menge der variablen Faktoren (Einsatzfaktoren) dividiert wird. Der Grenzertrag steigt zunächst und erreicht im Wendepunkt der Gesamtertragskurve (Output-Kurve) sein Maximum. Von dort sinkt er und wird folglich negativ, wenn der Gesamtertrag absolut abnimmt. Somit gilt, dass der Durchschnittsertrag wächst, solange der Grenzertrag höher ist. Letztlich liegt die optimale Kombination der Faktoren vor, wenn der Durchschnittsertrag je Faktoreinheit am höchsten ist. An dieser Stelle sind Durchschnittsertrag und Grenzertrag gleich. Werden die variablen Faktoren weiter vermehrt, fällt der Durchschnittsertrag, weil die Grenzerträge niedriger sind als der Durchschnittsertrag und somit den Durchschnitt senken.[9]

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an: Gabler Volkswirtschaftslexikon (1983), S. 161.

X₁: Wendepunkt der Gesamtertragskurve = Maximum des Gesamtertrages.

mit X₂: optimale Kombination der Faktoren = Maximum des Durchschnittsertrages (Grenzertrag = Durchschnittsertrag).

X₃: Höhepunkt der Gesamtertragskurve = Maximum des Gesamtertrages (Grenzertrag = 0)

Substituierbare und limitationale Produktionsfaktoren

Man unterscheidet substitutionale und limitationale Produktionsfunktionen.

• Substitutionale Produktionsfaktoren sind bei der Erzeugung eines Outputs untereinander austauschbar. Die Outputmenge bleibt beim Austausch gleich.

• Limitational substituierbare oder nicht substituierbare Produktionsfaktoren sind bei Erzeugung eines Outputs untereinander nicht austauschbar. Eine Erhöhung des Outputs bedingt dann eine Erhöhung aller Inputfaktoren.

Cobb Douglas Produktionsfunktion

Die Cobb-Douglas-Funktion beschreibt eine weitere Produktionsfunktion. Dabei stellt die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion das Verhältnis zwischen den Einsatzfaktoren Kapital und Arbeit und deren Auswirkung auf den Output dar. Die Einsatzfaktoren sind in diesem Fall substitutional (austauschbar).

Die Cobb-Douglas-Funktion ist linear-homogen. Das heißt: Eine Erhöhung aller Einsatzfaktoren führt zu einer Vervielfachung der Produktionsmenge.[10]

Beispielklausur zu Produktionsfunktionen

Bei der folgenden Beispielklausur lassen sich insgesamt 32 Punkte sammeln.[11]

Aufgabe 1 (14 Punkte):

a) Was ist eine Produktionsfunktion, was wird durch sie ausgedrückt? (3 Punkte)

b) Erkläre den Begriff des Grenzproduktes.  (2 Punkte) 

c) Zeichne jeweils eine Produktionsfunktion mit steigendem, konstantem und fallendem Grenzprodukt. (3 Punkte)

d) Was charakterisiert eine neoklassische Produktionsfunktion? (3 Punkte)

e) Welche Auswirkungen hat technischer Fortschritt auf die Produktionsfunktion? Welche Formen des technischen Fortschritts unterscheidet man? (3 Punkte)

Aufgabe 2: 4 Punkte

Wie wirkt sich technischer Fortschritt auf die Produktionsfunktion aus? (4 Punkte)

Aufgabe 3: 6 Punkte

Beschreibe die klassische und die Leontief-Produktionsfunktion. (6 Punkte)

Aufgabe 4: 1 Punkt
Gib ein Beispiel für ein Gut, das gemäß einer Leontief-Produktionsfunktion hergestellt wird. (1 Punkt)

Aufgabe 5: 4 Punkte

a) Was versteht man unter dem Produktionspotenzial? (2 Punkte)

b) Zeichne die Produktionsfunktion in das folgende Y–K-Diagramm. (2 Punkte)

Aufgabe 6: (2 Punkte)

Ergänze die folgende Aussage:

Die klassischen Inputfaktoren einer Produktionsfunktion sind __________ und __________.

Aufgabe 7: (1 Punkt)

Wähle die korrekte Antwort aus: Bei einer neoklassischen Produktionsfunktion hat der Faktor Arbeit …

a) positive und steigende Grenzerträge,

b) ebenfalls positive und konstante Grenzerträge,

c) positive und abnehmende Grenzerträge.

Lösung zur Beispielsklausur

Lösung zu Aufgabe 1:

a)  Eine Produktionsfunktion ist die mathematische Modellierung des Produktionsprozesses. Sie gibt das Verhältnis zwischen Inputs und Outputs an.

b)  Das Grenzprodukt gibt den durch den Einsatz einer weiteren Einheit des

Inputs erzeugten zusätzlichen Output an.

c)  

d)  Eine neoklassische Produktionsfunktion kennzeichnet sich dadurch, dass sie monoton steigend ist und fallende Grenzerträge aufweist.

e)  Technischer Fortschritt steigert den Output. Man unterscheidet arbeitsvermehrender technischer Fortschritt und kapitalvermehrender technischer Fortschritt.

Lösung zu Aufgabe 2:

In der Produktionsfunktion erhöht technischer Fortschritt die Wirksamkeit des Arbeits- (arbeitsvermehrend) bzw. Kapitalinputs (kapitalvermehrend).

Lösung zu Aufgabe 3:

Eine klassische (neoklassische) Produktionsfunktion zeichnet sich durch eine positive 1. Ableitung (monoton steigend) und eine negative 2. Ableitung (monoton fallende Grenzerträge) aus. Die klassische Produktionsfunktion findet bei substitutiven Gütern Anwendung.

Die Leontief-Produktionsfunktion kommt bei komplementären Gütern zum Einsatz. Sie besteht aus der Gesamtheit aller zulässigen Inputkombinationen, welche hier diskrete Punkte sind.

Lösung zu Aufgabe 4:

Fahrräder werden gemäß einer Leontief-Produktionsfunktion hergestellt. Jedes Fahrrad braucht genau einen Rahmen und genau zwei Räder.

Lösung zu Aufgabe 5:

a) Das Produktionspotenzial gibt den Output an, der bei dem gegebenen Bestand an Input-Faktoren maximal erreicht werden kann.

b)

Lösung zu Aufgabe 6:

Die klassischen Inputfaktoren von Produktionsfunktionen sind Arbeit und Kapital.

Lösung zu Aufgabe 7:

Antwort c) ist richtig: es gibt positive und abnehmende Grenzerträge.

Zusammenfassung der wichtigsten Produktionsfunktionen

Abschließend findest Du hier einige praktische Produktionsfunktionen, die in verschiedenen Branchen und Unternehmen verwendet werden:

1. Lineare Produktionsfunktion: Diese Funktion beschreibt eine einfache Produktionsbeziehung, bei der die Ausbringung direkt proportional zur Menge der eingesetzten Produktionsfaktoren ist. Zum Beispiel könnte die lineare Produktionsfunktion eines Bauunternehmens besagen, dass die Anzahl der fertiggestellten Häuser direkt proportional zur Anzahl der Arbeiter und Maschinen ist.
2. Quadratische Produktionsfunktion: Bei dieser Produktionsfunktion steigt die Ausbringung nicht linear, sondern quadratisch mit der Menge der eingesetzten Produktionsfaktoren. Dies könnte beispielsweise bei der Produktion von landwirtschaftlichen Erzeugnissen der Fall sein, bei denen die Erträge aufgrund begrenzter Bodenfläche und Ressourcen ab einem bestimmten Punkt abnehmen.
3. Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: Diese Funktion ist eine erweiterte Form der linearen Produktionsfunktion und wird häufig in der Wirtschaftsanalyse verwendet. Sie berücksichtigt die unterschiedlichen Produktivitätsbeiträge verschiedener Produktionsfaktoren und kann beispielsweise bei der Analyse der Produktivität von Unternehmen oder ganzen Volkswirtschaften verwendet werden.
4. Leontief-Produktionsfunktion: Diese Funktion modelliert eine Situation, in der die Produktion nur in festen Verhältnissen der eingesetzten Produktionsfaktoren erfolgen kann. Zum Beispiel könnte eine Leontief-Produktionsfunktion die Situation eines Unternehmens beschreiben, das eine bestimmte Menge an Arbeitern und Maschinen benötigt, um eine bestimmte Menge an Produkten herzustellen, unabhängig von anderen Faktoren.
5. Transzendentale Produktionsfunktion: Diese Funktionen sind komplexere mathematische Modelle, die die nichtlineare Beziehung zwischen den eingesetzten Produktionsfaktoren und der resultierenden Produktion berücksichtigen. Sie können in verschiedenen Branchen verwendet werden, um die Produktionsprozesse genauer zu modellieren und zu optimieren.

Diese Produktionsfunktionen sind nur einige Beispiele dafür, wie Unternehmen und Branchen die Beziehung zwischen Produktionsfaktoren und Produktionsleistung modellieren können.

Quellen und Literaturempfehlung

• Welfens, P. J. J. (2008). Grundlagen der Wirtschaftspolitik. Berlin: Springer-Verlag.
• Perret, J. K.; Welfens, P. J. J. (2019), Arbeitsbuch Makroökonomik und Wirtschaftspolitik Grundlagen – Aufgaben – Lösungen, 2. Auflage, Berlin: Springer-Gabler.
• Münter, M. (2018). Mikroökonomie, Wettbewerb und strategisches Verhalten. München: UKV-Verlag.
• Petersen, T., (2022). Makroökonomie: Schritt für Schritt. 4. Aufl., München: UKV-Verlag.
• Gabler Volkswirtschaftslexikon (1983). 2. Aufl., Wiesbaden: Springer Fachmedien.

Fußnoten zu den Produktionsfunktionen

[1] Vgl. Welfens (2008), S. 90.

[2] Vgl. Welfens (2008), S. 634.

[3] Vgl. Münter (2018), S. 177.

[4] Vgl. Petersen (2022), S. 121

[5] Vgl. Münter (2018), S. 179.

[6] Vgl. Petersen (2022), S. 121.

[7] Vgl. Münter (2018), S. 180.

[8] Vgl. Gabler Volkswirtschaftslexikon (1983), S. 161.

[9] Vgl. Gabler Volkswirtschaftslexikon (1983), S. 161.

[10] Vgl. Welfens (2008), S. 72.

[11] Vgl. Perret/Welfens (2019).