Die Leontief Produktionsfunktion ist benannt nach Wassily Leontief, einem russisch-amerikanischem Wirtschaftswissenschaftler. Sie zählt zu den mikroökonomischen Produktionsfunktionen und ist linear limitational. Doch was heißt das?
Inhaltsübersicht
Definition der Leontief Produktionsfunktion
Bei der Leontief-Produktionsfunktion sind die Produktionsfaktoren (der Input) eines Prozesses in einem konstanten Verhältnis zu nutzen.
Diese Definition bedeutet: Wenn die Leistung (der Output) erhöht werden soll, müssen die Produktionsfaktoren dementsprechend proportional dazu erhöht werden. So nutzt es einem Verkehrunternehmen nichts, einen zusätzlichen Fahrer einzustellen, wenn es nicht auch ein Fahrzeug für ihn hat. Die beiden Produktionsfaktoren (als Betriebsmittel das Fahrzeug und als menschliche Arbeitsleistung der Fahrer) müssen in einem konstanten Verhältnis (hier 1 zu 1) zur Verfügung stehen. Nur dann lässt sich die Leistung (die Fahrt als Output) auch entsprechend steigern.
Tatsächlich sind Leontief-Produktionsfunktionen in der Praxis häufig anzutreffen. Oder haben Sie schon einmal einen PKW mit 3 Lenkrädern gesehen? Oder eine Kaffeemaschine mit zwei An-Aus-Schaltern? Viele industrielle Produkte sind linear limitational gestaltet, genau so, wie es die Leontief-Produktionsfunktion vorsieht.
Was sind Produktionsfunktionen?
Eine Produktionsfunktion erklärt grundsätzlich den Zusammenhang zwischen dem Input und dem sich daraus ergebenden Output eines Leistungsprozesses. Dabei liegt das Ziel einer Produktionsfunktion darin, das bestmögliche Verhältnis der einzelnen Produktionsfaktoren zu ermitteln, um dadurch die optimale Produktionsmenge zu bestimmen.
Oben stehende Abbildung zeigt, dass es nicht nur eine Produktionsfunktion gibt. Vielmehr lassen sich die Produktionsfunktionen grundsätzlich in substitutionale und limitionale unterscheiden.
Was sind substitutionale Produktionsfunktionen?
In der Kategorie der substitutionalen Produktionsfunktionen sind die Produktionsfaktoren gegenseitig substituierbar, das heißt, sie können durch andere Faktoren ersetzt werden. Dabei verändert sich die Output-Menge nicht. Zu den substitutionalen Produktionsfunktionen zählt unter anderem die Cobb-Douglas Produktionsfunktion und auch die Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion, die aber in diesem Text nicht weiter betrachtet werden sollen.
Beispiel: Ein Unternehmen ersetzt Arbeitskräfte durch moderne Maschinen. Der Input ändert sich (der Produktionsfaktor menschliche Arbeit wird durch den Produktionsfaktor Betriebsmittel ersetzt), während die Output-Menge unverändert bleibt.
Was sind limitationale Produktionsfunktionen?
Die Produktionsfaktoren der Kategorie der limitationalen Produktionsfunktionen können dagegen nicht untereinander ausgetauscht bzw. ersetzt werden. Die Output Menge kann beispielsweise nur dann erhöht werden, wenn auch alle Inputfaktoren erhöht werden. Zu den limitationalen Produktionsfunktionen zählen die Leontief Produktionsfunktion und die Gutenberg Produktionsfunktion.
Linear-limitationale Produktionsfunktion
Bei linear-limitationalen Produktionsfunktionen befinden sich die Produktionsfaktoren in einem festen (konstanten) Verhältnis zueinander. Wenn der Output steigen soll, dann sind die Produktionsfaktoren gleichermaßen zu steigern. Die Leontief Produktionsfunktion ist hier beispielhaft zu betrachten.
Beispiel: Damit ein Fahrradhersteller mehr Fahrräder produzieren kann, benötigt er im gleichen Verhältnis mehr Räder und Fahrradrahmen. Es nützt nichts, wenn er zwar 2 Fahrradrahmen aber nur 3 Räder hat, dann beträgt sein Output weiterhin nur ein Fahrrad.
Nichtlinear-limitationale Produktionsfunktion
Dagegen ist das Verhältnis zwischen den Produktionsfaktoren bei nichtlinear-limitationalen Produktionsfunktionen nicht konstant. Als Paradebeispiel dient hier die Gutenberg-Produktionsfunktion. Im Mittelpunkt stehen diesmal nicht die Produktionsfaktoren selbst, sondern die Produktionsanlagen, wie zum Beispiel die Maschinen. Das bedeutet, dass man den Output nicht anhand des Inputs endgültig festlegen kann, sondern anhand von anderen Faktoren wie zum Beispiel der Einsatzdauer oder der Geschwindigkeit einer Maschine bestimmen muss.
Die Eigenschaft einer Gutenberg-Produktionsfunktion kennst Du auch vom Fahren eines Autos. Den Output (die zurückgelegte Strecke) kannst Du verändern, indem Du den Einsatz der Motorleistung (und damit die Geschwindigkeit des Fahrzeugs) änderst.
Formel der Leontief Produktionsfunktion
In dieser allgemeinen Formel zur Leontief Produktionsfunktion steht Y für den Output, x1 und x2 sind die Produktionsfaktoren, und a und b sind Produktionskoeffizienten. Diesen Zusammenhang betrachten wir am besten anhand eines Beispiels.
Beispiel zur Leontief Produktionsfunktion
Stell Dir vor, Du hast eine Pizzeria mit einem kleinen Pizzaofen, in dem gleichzeitig immer nur Platz für eine Pizza ist. Deine Spezialität sind Salami Pizzen. Für eine Pizza benötigst Du 5 Scheiben Salami, und die Arbeitszeit pro Pizza beträgt 12 Minuten, bis die Pizza fertig gebacken und servierfertig ist. Du hast nun noch 36 Minuten verfügbare Arbeitszeit und 10 Scheiben Salami.
Die Produktionskoeffizienten sind: a = 5 Scheiben Salami und b = 12 Minuten Arbeitszeit. Die Produktionskoeffizienten beschreiben also, wieviel Du von den Inputfaktoren (Salami und Arbeitszeit) für je eine Pizza benötigst. Deshalb heißten die Produktionskoeffizienten hier auch Input-Koeffizienten.
Die Produktionsfaktoren, die Dir zur Verfügung stehen, sind x1 = 10 Scheiben Salami und x2 = 36 Minuten Arbeitszeit.
Jetzt willst Du wissen, wie hoch der Output ist, also wie viele Pizzen Du insgesamt produzieren kannst.
Die Gleichung zur Bestimmung der Lösung des Problems sieht folgendermaßen aus:
Es lassen sich also 2 Salami Pizzen produzieren, und ein Teil der Arbeitszeit bleibt übrig. Die Salami Scheiben stellen den Output-beschränkenden Faktor dar.
Übrigens, der Kehrwert der Input-Koeffizienten wird auch als Output-Koeffizient bezeichnet. Du brauchst also 5 Scheiben Salami pro Pizza (5 ist der Inputkoeffizient). Anders ausgedrückt, Du kannst rechnerisch mit einer Scheibe Salami eine Fünftel Pizza herstellen (Output-Koeffizient).
Natürlich braucht es für eine perfekte Salami Pizza noch mehr Zutaten, modellhaft werden allerdings hier nur 2 Produktionsfaktoren betrachtet, um die Rechnung nicht zu kompliziert zu machen. Die weiteren Zutaten müssen ebenfalls im selben Verhältnis wie die Salami erhöht werden.
Graphische Darstellung der Leontief Produktionsfunktion
Die Leontief Produktionsfunktion kann man graphisch anhand L-förmiger Isoquanten (hier Kombinationen von Produktionsfaktoren, die zum gleichen Output führen) wie folgt darstellen:
Die (Eck-)Punkte bei den Koordinaten (5,12) und (10,24) stellen die Kombinationen der Produktionsfaktoren dar, mit denen sich eine bzw. zwei Salami Pizzen produzieren lassen, ohne dass Produktionsfaktoren wie Salami Scheiben oder Arbeitszeit „übrig bleiben“. Diese Kombinationen werden auch als effiziente Faktorkombinationen bezeichnet.
Da die Produktionsfaktoren nicht substituierbar (austauschbar) sind, beträgt die Substitutionselastizität der Leontief Produktionsfunktion 0.
Was sind also Isoquanten?
Mit Hilfe von Isoquanten kann man die Beziehung zwischen den Produktionsfaktoren (Input) und den fertigen Produkten (Output) beschreiben. Der eine Produktionsfaktor (Salami Scheiben) ist dazu auf der x-Achse, der zweite Produktionsfaktor (Arbeitszeit) auf der y-Achse einzutragen. Die Isoquante verbindet dann alle eingezeichneten Punkte (Faktorkombinationen) miteinander zu einer Kurve oder wie hier bei der Leontief Produktionsfunktion zu L-förmigen Isoquanten. Üblicherweise bildet man ein Modell mit nur 2 Inputfaktoren, die substituierbar, also gegeneinander austauschbar sind.
Bei der Leontief Produktionsfunktion handelt es sich um eine Produktionsfunktion für perfekte Komplemente. Hier vervollständigen sich beide Einsatzfaktoren gegenseitig, da das Austauschverhältnis immer gleich ist.
Die Isoquante in dem Pizza Beispiel zeigt an, dass nur bei proportionaler Erhöhung beider Inputfaktoren auch der Output steigt. Erhöht man nur einen Faktor, den anderen allerdings nicht, dann ändert sich folglich nichts am Output. Beträgt die Arbeitszeit also 36 Minuten und die Zahl der Salami Scheiben 10, dann verändert sich trotz des erhöhten Inputs der Arbeitszeit nichts am Output, den produzierten Salami-Pizzen.
Und jetzt bist Du an der Reihe! Teste Dein Wissen über die Leontief Produktionsfunktion und löse die folgende Übungsaufgabe! Keine Angst, sie ist nicht schwierig.
Übungsaufgabe zur Leontief Produktionsfunktion
Es ist Samstagabend an einem lauen Sommertag, Deine Pizzeria ist voll, und der kleine Pizzaofen läuft auf Hochtouren. Heute steht Pizza Margaritha auf der Speisekarte. Eine Margaritha hat eine Arbeitszeit von 10 Minuten und pro Pizza verwendest du 300g Käse (Input-Koeffizienten). Bis Feierabend sind es noch 60 Minuten Arbeitszeit, Du hast aber jedoch nur noch 1200g Käse.
Berechne mit der Leontief Produktionsfunktion, wie viele Margaritha Pizzen Du noch bis zum Feierabend backen kannst.
Lösung:
Die Produktionsfaktoren sind hier im Beispiel x1 = 1200 Gramm Käse und x2 = 60 Minuten Arbeitszeit.
Bis zum Feierabend können noch 4 Margaritha Pizzen gebacken werden. Würde es mehr Käse geben, hätten noch 2 weitere Margaritha Pizzen, insgesamt 6 Stück gebacken werden können. Der Käse ist in dieser Beispielaufgabe dementsprechend der Output-beschränkende Faktor.
Ergänzender Hinweis:
Den Kehrwert der Input-Koeffizienten bezeichnet man als Output-Koeffizienten. Sie sind aber oft schwierig interpretierbar. Im Beispiel beträgt der Inputkoeffizient für den Käse 300 Gramm pro einer Pizza. Der Output-Koeffizient ist demnach 1/300, d.h. mit einem Gramm Käse könne man eine 300-stel Pizza herstellen – das ist irgendwie nur schwierig vorstellbar und damit eher eine theoretische Aussage.
Quellen zu den Leontief Produktionsfaktoren
https://welt-der-bwl.de/Leontief-Produktionsfunktion
https://studyflix.de/wirtschaft/produktionsfunktion-1419
https://studyflix.de/wirtschaft/isoquante-84
https://welt-der-bwl.de/Ertragsgesetzliche-Produktionsfunktion
Fandel, G. (1996). Limitationale Produktionsfunktionen. In: Produktion I. Springer, Berlin, Heidelberg.