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Polypol
Zur Gewinnmaximierung im Polypol ist die Situation im vollkommenen Markt von der Situation im unvollkommenen Markt zu unterscheiden. Bei einem Polypol in einem vollkommenen Markt strebt der Gewinn aller Unternehmen gegen 0. Dies liegt daran, dass der Gleichgewichtspreis hier gerade hoch genug ist, dass die Unternehmen ihre Kosten decken können. Aber vollkommene Märkte sind in der Praxis quasi nicht existent. Dagegen ist das Polypol eine häufig anzutreffende Marktform.
Bei einem Polypol in einem unvollkommenen Markt – also einem Markt ohne vollständige Konkurrenz – kann der maximale Gewinn berechnet und graphisch ermittelt werden.
Gleichgewichtspreis im Polypol
In einem Polypol ist der Preis durch den Gleichgewichtspreis im Markt vorgegeben, und eine Veränderung des Preises würde aus Unternehmenssicht keinen Sinn machen. Die einzige Möglichkeit für Unternehmen, ihren Gewinn zu maximieren, besteht darin, ihre Produktionsmenge an den Gleichgewichtspreis anzupassen.
Wenn das Unternehmen seine Kostenfunktion und seine Erlösfunktion kennt, kann es seine optimale Produktionsmenge für den maximalen Gewinn ganz leicht berechnen. Die Kostenfunktion gibt hierbei an, welche Kosten dem Unternehmen bei der jeweiligen Produktionsmenge entstehen. Die Erlösfunktion gibt an, welchen Umsatz das Unternehmen in Abhängigkeit von der Menge an Produkten, die es verkauft, erreichen kann.
Beispiel zur Gewinnmaximierung im Polypol
Für das Beispiel zur Gewinnmaximierung im Polypol wird angenommen, dass das Unternehmen alle Produkte verkauft, die es produziert, und so nichts im Lager liegen bleibt. Sei X die Menge, die von einem Unternehmen produziert wird.
Das Unternehmen habe die folgende Kostenfunktion:
K (X) = X3 – 9X2 + 22X + 16
Der Gleichgewichtspreis liege bei 8€ pro Stück. Die Erlösfunktion, also die Funktion, mit der der Umsatz des Unternehmens berechnet wird, ergibt sich aus dem Preis multipliziert mit der Produktionsmenge des Unternehmens. Es wird davon ausgegangen, dass alle Waren, die das Unternehmen produziert hat, auch verkauft werden. Es ergibt sich also folgende Erlösfunktion:
E (X) = 8 * X
Die Gewinnfunktion
Da sich der Gewinn durch Subtraktion der Kosten vom Umsatz errechnet, ergibt sich folgende Gewinnfunktion:
G (X) = E (X) – K (X)
bzw.
G (X) = 8 * X – (X3 – 9X2 + 23X + 16) = – X3 + 9X2 – 15X – 16
Bestimmung der Extremwerte
Um die Produktionsmenge zu ermitteln, bei der der maximale Gewinn erwirtschaftet wird, muss zunächst die erste Ableitung aus der Gewinnfunktion gebildet und diese gleich 0 gesetzt werden:
G‘ (X) = -3X2 + 18X – 15
-3X2 + 18X – 15 = 0 ∥ * (-1)
≙ 3X2 – 18X + 15 = 0 ∥ Ausklammern
≙ 3 * (X2 – 6X) +15 = 0 ∥ quadratische Ergänzung
≙ 3 * (X – 2X * 3 + 32 – 32) +15 = 0 ∥ Zusammenfassen über 2. Binomische Formel
≙ 3 * ((X – 3)2 – 32) +15 = 0 ∥ Zusammenfassen
≙ 3 * (X – 3)2 – 3 * 32 + 15 = 0 ∥ Zusammenfassen
≙ 3 * (X – 3)2 -12 = 0 ∥ + 12
≙ 3 * (X – 3)2 = 12 ∥ : 3
≙ (X – 3)2 = 4 ∥ Wurzel ziehen
≙ X – 3 = 2 ∨ X – 3 = -2 ∥ + 3
≙ X = 5 ∨ X = 1
Bestimmung von Hochpunkt und Tiefpunkt
Der maximale Gewinn liegt also entweder bei einer Produktionsmenge von 1 oder 5. Um die Menge des maximalen Gewinns endgültig herauszufinden, wird die zweite Ableitung der Gewinnfunktion gebildet:
G‘‘ (X) = -6X + 18
Im nächsten Schritt wird der Wert der zweiten Ableitung an den Stellen 1 und 5 errechnet. Ist der Wert positiv, so handelt es sich hierbei um einen Tiefpunkt. Ist der Wert negativ, so handelt es sich um einen Hochpunkt, also die Produktionsmenge, bei der der Gewinn maximal wird:
G‘‘ (1) = -6 * 1 + 18 = 12 (Tiefpunkt)
G‘‘ (5) = -6 * 5 + 18 = -12 (Hochpunkt)
Berechnung des maximalen Gewinns
Bei einer Produktionsmenge von 5 macht das Unternehmen also den meisten Gewinn. Dieser kann durch Einsetzen von 5 in die Gewinnfunktion errechnet werden:
G (X) = – X3 + 9X2 – 15X – 16
G (5) = – 53 + 9 * 52 – 15 * 5 – 16 = 9
Der maximale Gewinn beträgt also 9.
Grafische Darstellung der Gewinnmaximierung im Polypol
Graphisch sieht die Bestimmung des maximalen Gewinns im Polypol wie folgt aus:
Die obere rote Fläche beschreibt die Zone, in der der Erlös (schwarze Linie) höher ist als die Kosten (rote Linie). Die untere rote Fläche zeigt die Zone, in der der Gewinn positiv ist. Beide Flächen sind identisch und unterscheiden sich nur durch ihre Drehung. Die Gewinnfunktion G(X) erreicht, wie bereits errechnet, bei einer Menge von 5 ihr Maximum.
Quellen zur Gewinnmaximierung im Polypol
Der oben stehende Text wurde maßgeblich von Frederic Scholtes verfasst, den Sie über sein LinkedIn-Profil erreichen können.
[1] Quelle: http://www.wirtschaftslexikon24.com/d/gewinnmaximierung/gewinnmaximierung.htm
