Gewinnmaximierung im Polypol

Polypol

Zur Gewinnmaximierung im Polypol ist die Situation im vollkommenen Markt von der Situation im unvollkommenen Markt zu unterscheiden. Bei einem Polypol in einem vollkommenen Markt strebt der Gewinn aller Unternehmen gegen 0. Dies liegt daran, dass der Gleichgewichtspreis hier gerade hoch genug ist, dass die Unternehmen ihre Kosten decken können. Aber vollkommene Märkte sind in der Praxis quasi nicht existent. Dagegen ist das Polypol eine häufig anzutreffende Marktform.

Das Polypol im Überblick

In einem Polypol, oftmals auch als vollkommener Wettbewerb bezeichnet, streben Unternehmen danach, ihre Gewinne zu maximieren, indem sie ihre Produktion optimieren und den Marktpreis akzeptieren. Hier werfen wir einen ersten Blick auf die Gewinnmaximierung im Polypol, indem wir wichtige Begriffe definieren und praktische Beispiele liefern.

1. Polypol und seine Merkmale: Im Polypol existieren viele Anbieter und viele Nachfrager für ein homogenes Produkt. Die Unternehmen haben keinen Einfluss auf den Marktpreis und sind Preisnehmer. Weitere Merkmale sind freier Marktzutritt und vollkommene Markttransparenz.

2. Gewinnmaximierung im Polypol: Unternehmen im Polypol streben danach, ihren Gewinn zu maximieren, indem sie ihre Produktion so organisieren, dass die Grenzkosten (die Kosten für die Produktion einer zusätzlichen Einheit) gleich dem Marktpreis sind.

3. Definition der Grenzkosten (GK): Die Grenzkosten (GK) geben an, wie viel es kostet, eine zusätzliche Einheit eines Gutes zu produzieren. Sie werden aus den variablen Kosten (Kosten, die sich mit der Produktionsmenge ändern) abgeleitet und sind entscheidend für die Gewinnmaximierung im Polypol.

4. Marginal Revenue (MR): Der Marginale Ertrag (MR) ist der zusätzliche Umsatz, den ein Unternehmen durch den Verkauf einer zusätzlichen Einheit eines Gutes erzielt. Im Polypol entspricht der MR dem Marktpreis, da das Unternehmen keinen Einfluss auf den Preis hat.

5. Bedingung für die Gewinnmaximierung: Um den Gewinn zu maximieren, muss ein Unternehmen im Polypol die Produktionsmenge wählen, bei der die Grenzkosten (GK) gleich dem Marginalen Ertrag (MR) sind.

6. Praktisches Beispiel: Angenommen, ein Landwirt produziert Äpfel in einem Polypolmarkt, in dem der Marktpreis für Äpfel 1 Euro pro Kilogramm beträgt. Um seinen Gewinn zu maximieren, muss der Landwirt die Produktionsmenge wählen, bei der die Grenzkosten (GK) der Herstellung eines zusätzlichen Kilogramms Äpfel ebenfalls 1 Euro entsprechen.

7. Folgerungen: Im Polypolmarkt streben Unternehmen nach Gewinnmaximierung, indem sie ihre Produktion optimieren und den Marktpreis akzeptieren. Die Bedingung für die Gewinnmaximierung ist, dass die Grenzkosten (GK) gleich dem Marginalen Ertrag (MR) sind.

Bei einem Polypol in einem unvollkommenen Markt – also einem Markt ohne vollständige Konkurrenz – kann der maximale Gewinn berechnet und graphisch ermittelt werden.

Gleichgewichtspreis im Polypol

In einem Polypol ist der Preis durch den Gleichgewichtspreis im Markt vorgegeben, und eine Veränderung des Preises würde aus Unternehmenssicht keinen Sinn machen. Die einzige Möglichkeit für Unternehmen, ihren Gewinn zu maximieren, besteht darin, ihre Produktionsmenge an den Gleichgewichtspreis anzupassen. Somit gilt das Unternehmen als Preisnehmer.

Wenn das Unternehmen seine Kostenfunktion und seine Erlösfunktion kennt, kann es seine optimale Produktionsmenge für den maximalen Gewinn ganz leicht berechnen. Die Kostenfunktion gibt hierbei an, welche Kosten dem Unternehmen bei der jeweiligen Produktionsmenge entstehen. Die Erlösfunktion gibt an, welchen Umsatz das Unternehmen in Abhängigkeit von der Menge an Produkten, die es verkauft, erreichen kann.

Beispiel zur Gewinnmaximierung im Polypol

Für das Beispiel zur Gewinnmaximierung im Polypol wird angenommen, dass das Unternehmen alle Produkte verkauft, die es produziert, und so nichts im Lager liegen bleibt. Sei X die Menge, die von einem Unternehmen produziert wird.

Das Unternehmen habe die folgende Kostenfunktion:

K(x) = variable Kosten + fixe Kosten = x³ – 9x² + 22x + 16

In diesem Fall betragen die Fixkosten 16 (Euro), da sie unabhängig von der produzierten Menge x anfallen. Nur die variablen Kosten hängen von der Produktionsmenge ab und werden hier einmal besipielhaft über eine nicht-lineare Funktion beschrieben.

Der Gleichgewichtspreis liege bei 8 Euro pro Stück und ist vom Unternehmen nicht beeinflussbar. Die Erlösfunktion, also die Funktion, mit der der Umsatz des Unternehmens berechnet wird, ergibt sich aus dem Preis multipliziert mit der Produktionsmenge des Unternehmens. Es wird davon ausgegangen, dass alle Waren, die das Unternehmen produziert hat, auch verkauft werden. Es ergibt sich also folgende Erlösfunktion:

E(x) = 8 * x

Die Gewinnfunktion

Da sich der Gewinn durch Subtraktion der Kosten vom Umsatz errechnet, ergibt sich folgende Gewinnfunktion in Abhängigkeit der Produktionsmenge x:

G(x) = E(x) – K(x)

bzw.

G(x) = 8 * x – (x³ – 9x² + 23x + 16) = – x³ + 9x² – 15x – 16

Rechnerische Bestimmung der Extremwerte

Gehen wir davon aus, dass auch unser Beispielunternehmen, wie im Grunde jedes Unternehmen) die Absicht verfolgt, seinen Gewinn zu maximieren. Dieses typische Unternehmensziel bedeutet nicht, dass das Unternehmen unendlich viel Gewinn erwirtschaften will. Vielmehr versucht es, unter den gegebenen Umständen, den maximal möglichen Gewinn zu realisieren.

Um die Produktionsmenge zu ermitteln, bei der sich der maximale Gewinn erwirtschaften lässt, muss zunächst die erste Ableitung der Gewinnfunktion G‘(x) gebildet und diese gleich 0 gesetzt werden:

G‘(x) = -3x² + 18x – 15

Nullsetzen der ersten Ableitung liefert folgende Gleichung, die dann nach der Produktionsmenge x aufzulösen ist:

-3x² + 18x – 15 = 0             ∥ * (-1)

also: 3x² – 18x + 15 = 0        ∥ Ausklammern

≙ 3 * (x² – 6x) +15 = 0       ∥ quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung führt zu:

3 * (x – 2x * 3 + 3² – 3²) +15 = 0      ∥ Zusammenfassen über 2. Binomische Formel

≙ 3 * ((x – 3)² – 3²) +15 = 0       ∥ Zusammenfassen

Weitere Umformungen ergeben: 3 * (x – 3)² – 3 * 3² + 15 = 0      ∥ Zusammenfassen

≙ 3 * (x – 3)² -12 = 0        ∥ + 12

Somit erhält man: 3 * (x – 3)² = 12         ∥ : 3

≙ (x – 3)² = 4         ∥ Wurzel ziehen

Und dann ergeben sich die Lösungen: x – 3 = 2    ∨     x – 3 = -2       ∥ + 3

≙ x = 5    ∨   x = 1                  

Bestimmung von Hochpunkt und Tiefpunkt

Der maximale Gewinn liegt also entweder bei einer Produktionsmenge von 1 oder 5. Um die Menge des maximalen Gewinns endgültig herauszufinden, wird die zweite Ableitung der Gewinnfunktion gebildet:

G‘‘(x) = -6x + 18

Im nächsten Schritt wird der Wert der zweiten Ableitung an den Stellen 1 und 5 errechnet. Ist der Wert positiv, so handelt es sich hierbei um einen Tiefpunkt, also einen minimalen Gewinn. Das wollen wir natürlich vermeiden. Ist der Wert der zweiten Abbildung an der möglichen Extremstelle dagegen negativ, so handelt es sich um einen Hochpunkt. Dann haben wir die Produktionsmenge gefunden, bei der der Gewinn maximal wird:

G‘‘(1) = -6 * 1 + 18 = 12 (Tiefpunkt)

G‘‘(5) = -6 * 5 + 18 = -12 (Hochpunkt)

Berechnung des maximalen Gewinns

Bei einer Produktionsmenge von 5 macht das Unternehmen also den meisten Gewinn. Dieser kann durch Einsetzen von 5 in die Gewinnfunktion errechnet werden:

G(x) = – x³ + 9x² – 15x – 16

G(5) = – 5³ + 9 * 5² – 15 * 5 – 16 = 9

Der maximale Gewinn beträgt also 9.

Grafische Darstellung der Gewinnmaximierung im Polypol

Der maximal mögliche Gewinn und der gewinnmaximale Produktionsmenge können nicht nur errechnet werden, sie lassen sich auch grafisch bestimmen. Und graphisch sieht die Bestimmung des maximalen Gewinns im Polypol wie folgt aus:

Die obere rote Fläche beschreibt die Zone, in der der Erlös (schwarze Linie) höher ist als die Kosten (rote Linie). Die untere rote Fläche zeigt die Zone, in der der Gewinn positiv ist. Beide Flächen sind identisch und unterscheiden sich nur durch ihre Drehung. Die Gewinnfunktion G(x) erreicht, wie bereits errechnet, bei einer Menge von 5 ihr Maximum.

Gewinnmaximierung im Polypol bei linearer Kostenfunktion

Gerade in der Schule wird neben einer linearen Erlösfunktion oft auch eine lineare Kostenfunktion unterstellt. Im Polypol-Fall ist das aber nicht ganz unproblematisch, wie wir in der Folge sehen werden. Schauen wir uns dies nun auch in einem einfachen Beispiel an:

Gehen wir zunächst von folgender Erlösfunktion aus: E(x) = 10 * x. Diese Funktion impliziert einen Stückpreis von 10 Euro, der vom Markt gegeben ist. Das Unternehmen im Polypol ist Preisnehmer und kann diesen Preis nicht beeinflussen.

Ergänzen wir nun unser Beispiel um eine lineare Kostenfunktion: K(x) = 40 + 8 * x. Somit unterstellen wir Fixkosten von 40 Euro, die unabhängig von der Produktionsmenge anfallen, und variablen Stückkosten von 8 Euro.

Demnach ergibt sich eine lineare Gewinnfunktion G(x) = E(x) – K(x) = 10 * x – (40 + 8 * x) = 2 * x – 40. Um das Gewinnoptimum zu berechnen, bilden wir wieder die erste Ableitung der Gewinnfunktion nach x und erhalten in diesem speziellen Fall G'(x) = 2.

Gewinnmaximum an der Kapazitätsgrenze

Wie Du siehst, ist die erste Ableitung in diesem Fall unabhängig von der Produktionsmenge positiv. Das bedeutet, es gibt kein lokales Maximum der Gewinnfunktion. Vielmehr steigt der Gewinn mit jeder verkauften Einheit um 2 Euro. Diese 2 Euro entsprechen dem Stück-Deckungsbeitrag der Deckungsbeitragsrechnung, also der Differenz von Verkaufspreis (10 Euro pro Stück) und variablen Stückkosten (von 8 Euro), die hier den Grenzkosten entsprechen. Es ist hier also für das Unternehmen sinnvoll, die maximal mögliche Produktionsmenge zu realisieren, die sich an der Kapazitätsgrenze des Unternehmens ergibt.

Diese Situation ergibt sich immer dann, wenn es dem Unternehmen gelingt, Produkte zu Grenzkosten herzustellen, die unterhalb des Marktpreises liegen. In der Praxis haben tatsächlich der Anbieter homogener Produkte nicht alle die gleiche Kostenfunktion. Nur so lässt sich erklären, dass es überhaupt Anbieter für diese Produkte gibt, denn Unternehmen wollen letztlich Geld verdienen. Es macht für sie langfristig keinen Sinn, ein Produkt herzustellen und zu verkaufen, wenn die Erlöse genau so hoch wie die damit verbundenen Kosten sind.

Quellen zur Gewinnmaximierung im Polypol

Der oben stehende Text wurde maßgeblich von Frederic Scholtes verfasst, den Sie über sein LinkedIn-Profil erreichen können.

[1] Quelle: http://www.wirtschaftslexikon24.com/d/gewinnmaximierung/gewinnmaximierung.htm